✨Thương số Fermat

Trong Số học, thương số Fermat của số nguyên a ≥ 2 ứng với hệ số nguyên tố p được định nghĩa bởi công thức:

:$q\_p(a)\; =\; \backslash frac\{a^\{p-1\}-1\}\{p\}$

Nếu a nguyên tố cùng nhau với p thì theo Định lý nhỏ Fermat, q_p(a) là số nguyên.

Tính chất

Nếu a và b là các số nguyên thỏa mãn _(a,p)=(b,p)=_1 thì:

:$q\_p(ab)\backslash equiv\; q\_p(a)+q\_p(b)\; \backslash mod\; p$ :$q\_p(p-1)\; \backslash equiv\; 1\; \backslash mod\; p$ :$q\_p(p+1)\backslash equiv-1\; \backslash mod\; p$ :$-2q$p(2) \equiv \sum{k=1}^{\frac{p-1}{2 \frac{1}{k} \mod p

Nếu q_p(a) = 0 mod p thì a^p-1 = 1 mod p². Những số nguyên tố thỏa mãn q_p(2) = 0 mod p được gọi là số nguyên tố Wieferichs. Những nghiệm đã biết của phương trình đồng dư q_p(a) = 0 mod p với những giá trị nhỏ của a là:

:

Một cặp số nguyên tố (p,r) thỏa mãn q_p(r) = 0 mod p và q_r(p) = 0 mod r được gọi là cặp số Wieferich.