✨Cấp số cộng

Trong toán học, một cấp số cộng hay dãy số cách đều (tiếng Anh: arithmetic progression hoặc arithmetic sequence) là một dãy số thoả mãn điều kiện hai phần tử liên tiếp nhau sai khác nhau một hằng số hay khoảng cách. Chẳng hạn, dãy số 3, 5, 7, 9, 11,... là một cấp số cộng với các phân tử liên tiếp sai khác nhau hằng số 2.

Hằng số sai khác chung được gọi là công sai của cấp số cộng. Các phần tử của nó cũng được gọi là các số hạng.

== Số hạng tổng quát Nếu cấp số cộng khởi đầu là phần tử $a\_1$ và công sai là d, thì số hạng thứ n của cấp số cộng được tính theo công thức: :$\backslash \; a\_n\; =\; a\_1\; +\; (n\; -\; 1)d.$

Tổng

Tổng của n số hạng đầu của cấp số cộng được gọi là tổng riêng thứ n. Ta có: :$S\_n\; =\; a\_1+a\_2+\backslash dots+a\_n=\backslash frac\{n(a\_1\; +\; a\_n)\}\{2\}\; =\backslash frac\{n[\; 2a\_1\; +\; (n-1)d\; ]\}\{2\}.$

Khi chứng minh công thức này, tổng riêng này được tách thành tổng của a₁a_n, của a₂ với a_n-1,... Một câu chuyện kể rằng Carl Gauss đã tìm ra cách này khi học tiểu học để trả lới thầy giáo khi tính tổng của 100 số tự nhiên dương đầu tiên.

Chứng minh: :$S\_n=a\_1+a\_1+d+a\_1+2d+\backslash dots\backslash dots+a\_1+(n-2)d+a\_1+(n-1)d$ :$S\_n=a\_n-(n-1)d+a\_n-(n-2)d+...+a\_n-2d+a\_n-d+a\_n$ :$\backslash Rightarrow2S\_n=n(a\_1+a\_n)$ :$\backslash Rightarrow\; S\_n=\backslash frac\{n(a\_1\; +\; a\_n)\}\{2\}$. :$\backslash Rightarrow\; S\_n=\backslash frac\{n[2a\_1\; +\; (n-1)d]\}\{2\}$.

Tích

Tích của n phần tử của cấp số cộng bắt đầu từ phần tử $a\_1$ với công sai $d$, với $n$ số hạng là

trong đó $x^\{\backslash overline\{n$ là ký hiệu của giai thừa trên (tiếng Anh: upper factorial) :$x^\{\backslash overline\{n=x(x+1)(x+2)\backslash cdots(x+n-1)=\backslash frac\{(x+n-1)!\}\{(x-1)!\}$ Đây là tổng quát hoá từ tích $1\; \backslash times\; 2\; \backslash times\; \backslash ldots\; \backslash times\; n$ được ký hiệu là $n!$ tới tích của :$m\; \backslash times\; (m+1)\; \backslash times\; \backslash ldots\; \backslash times\; (n-1)\; \backslash times\; n\; \backslash ,!$

với các số nguyên dương $m$ và $n$ cho bởi công thức

:$\backslash frac\{n!\}\{(m-1)!\}$

Còn $\backslash Gamma$ là ký hiệu của Hàm gamma.

:$\backslash Gamma(z)\; =\; \backslash int\_0^\backslash infty\; t^\{z-1\}\backslash ,e^\{-t\}\backslash ,dt$

(Công thức này không bao gồm trường hợp $\backslash frac\; \{a\_1\}\; \{d\}$ là số âm hoặc không).